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第六章 需求
消费者需求函数（demand function）的定义为：每种商品的最优数量是商品价格和消费者收入的函数。可将需求函数写为：
\begin{aligned} x_1&=x_1(p_1,p_2,m)\\ x_2&=x_2(p_1,p_2,m) \end{aligned} \\
我们首先分析当价格保持不变时，消费者对某种商品的需求是如何随他的收入的变化而变动的。
我们通常认为，当消费者的收入增加时，他对每种商品的需求都会增加。这样的商品我们称之为正常商品（normal goods），如图1所示。
图1：正常商品
如果商品1是正常商品，则收入增加时需求增加，收入减少时需求减少。对于正常商品来说，需求量的变动方向总是与收入变动的方向相同：
\frac{\Delta x_1}{\Delta m}>0 \\
但是，也有随着收入增加，对某种商品的需求量减少的情况，这种商品我们称之为劣等商品（inferior good），如图2所示。
图2：劣等商品
收入增加时预算线会向外平移，而预算线平移时产生了一系列需求束，将这些需求束连接起来就得到了收入提供曲线（income offer curve）。这条曲线说明了不同收入水平下的相应的需求束，如图3-A所示。
图3：收入提供曲线和恩格尔曲线
收入提供曲线又叫收入扩展路径（income expansion path）。如果两种商品都是正常商品，那么收入扩展路径的斜率将为正。
收入扩展路径描述了价格不变时不同收入水平下的最优选择，如果我们不同收入水平下商品1的最优选择，就得到了恩格尔曲线（Engel curve），如图3-B所示。
（1）完全替代
图4描述了完全替代的情形。如果 p_1 < p_2 ，则消费者只消费商品1，随着收入增加，他会增加商品1的消费。由于我们以横轴表示商品1的需求量，收入提供曲线就是横轴，如图4-A所示。在此情形下商品1的需求为 x_1=m/p_1 ，因此恩格尔曲线为一条斜率为 p_1 的直线，如图4-B所示。
图4：完全替代
（2）完全互补
图5描述了完全互补的情形。假设两种商品1:1完全互补，在该情形下，两种商品的消费量总是相同，收入提供曲线是一条经过原点的对角线，如图5-A所示。商品1的需求为 m/(p_1+p_2) ，因此恩格尔曲线为一条斜率为 p_1+p_2 的直线，如图5-B所示。
图5：完全互补
（3）柯布-道格拉斯偏好
柯布-道格拉斯偏好有一个较好的性质。在最优选择中，消费者花在每种商品上的资金，占收入的比例是固定的。因此，其收入提供曲线为一条经过原点的直线。
如果 u(x_1,x_2)=x_1^ax_2^{1-a} ，则商品1的需求为 x_1=am/p_1 ，商品2的需求为 x_2=(1-a)m/p_2 。商品1的恩格尔曲线为一条斜率为 p_1/a 的直线。
图6：柯布-道格拉斯偏好
（4）位拟偏好
当收入增加，某种商品需求增加的速度比收入增加的速度快时，我们称这种商品为奢侈品（luxury good）；反之，当收入增加，某种商品需求增加的速度比收入增加的速度慢时，我们称这种商品为必需品（necessary good）。
假设消费者的偏好仅取决于商品1和商品2的比率，即如果消费者偏好 (x_1,x_2) 胜过 (y_1,y_2) ，那么对任意的 t>0 ，消费者都将偏好 (tx_1,tx_2) 胜过 (ty_1,ty_2) 。这种性质的偏好我们称之为（同）位（类）拟偏好（homothetic preferences）。
完全替代、完全互补和柯布-道格拉斯偏好都是位拟偏好。
对于位拟偏好来说，假设无差异曲线与预算线相切于 (x_1^*,x_2^*) ，那么有
p_1x_1^*+p_2x_2^*=m \\
当收入变为 tm 时，有
p_1x_1+p_2x_2=tm \\
显然，对于位拟偏好来说，最优选择为 (tx_1^*,tx_2^*) 。
因此，当偏好为位拟偏好时，收入变为原来的 t 倍，需求也变为原来的 t 倍（收入增长速度与需求增长速度相同）。故收入提供曲线为经过原点的直线，恩格尔曲线也为直线。
图7：位拟偏好
（5）拟线性偏好
拟线性偏好的效用函数形式为 u(x_1,x_2)=v(x_1)+x_2 。
在拟线性偏好的情形下，如果一条无差异曲线和预算线相切于点 (x_1^*,x_2^*) ，那么对于常数 k(k\neq 0) ，在点 (x_1^*,x_2^*+k) 必有另一条无差异曲线和平行到此位置的预算线相切，收入增加根本不影响商品1的需求，所有多余的收入都用于消费商品2。
如果偏好是拟线性的，我们有时说商品1的“收入效应为0”。因此，商品1的恩格尔曲线是一条垂线，因为你改变收入时，商品1的需求保持不变。
图8：拟线性偏好
举个例子。假设商品1为铅笔，商品2为花费在其他商品上的金钱。最初，我可能只买铅笔，但收入大幅增加时，我不会再买铅笔。也就是说，多余的收入都被我花费在其他商品上。
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现在分析价格变化。
假设商品1的价格下降，维持商品2的价格和货币收入不变，那么一般情况下商品1的需求量会增加。
图9：普通商品
但是，也有可能出现商品价格下降反而使得其需求量减少的情形，这种商品我们称之为吉芬商品（Giffen good）。
图10：吉芬物品
假设商品1价格变动，保持商品2的价格和货币收入不变。在几何图形上，这涉及预算线的转动。每一条无差异曲线与相应的预算线相切，把最优点（即切点）连接起来就得到了价格提供曲线（price offer curve），这条曲线代表了在不同价格下的需求束。而对每个不同的 p_1 值我们可以相应画出商品1的最优消费水平，得到需求曲线。
图11：价格提供曲线和需求曲线
（1）完全替代
我们仍以红铅笔和蓝铅笔的例子（1:1完全替代）来说明完全替代偏好类型的价格提供曲线和需求曲线。当 p_1>p_2 时，商品1的需求量为0； p_1=p_2 时，商品1的需求量为预算线的任何数量； p_1<p_2 时，商品1的需求量为 m/p_1 。
图12：完全替代
（2）完全互补
我们仍以左鞋和右鞋的例子说明完全互补的情形。由于这两种商品1:1互补，因此无论两商品的价格如何变化，消费者必须购买同样数量的商品1和商品2，价格提供曲线为一条通过原点的45°直线。
商品1的需求为 x_1=m/(p_1+p_2) ，保持 m 和 p_2 不变，画出 x_1 和 p_1 之间的关系，就得到了需求曲线。
图13：完全互补
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如果商品2的价格上升，商品1的需求上升，我们称商品1是商品2的替代品（substitute）。并且有下式成立：
\frac{\Delta x_1}{\Delta p_2}>0 \\
这意味着当商品2变得更昂贵时，消费者转向消费商品1，即消费者使用相对便宜的商品替代相对昂贵的商品。
如果商品2的价格上升，商品1的需求下降，我们称商品1是商品2的补充品（complement）。并且有下式成立：
\frac{\Delta x_1}{\Delta p_2}<0 \\
参考文献：
《中级微观经济学：现代方法》. 范里安. 上海人民出版社. 2015-1 |
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发表于 2022-11-26 17:11:14